ทฤษฎีบท อธิบายพิสูจน์ทฤษฎีบททางเรขาคณิตที่สำคัญที่ตัดตอนมาจากทฤษฎีของยุคลิค 1. นิยามที่ 1 ถ้าเส้นเส้นหนึ่งมาตัดกับเส้นตรงอีกเส้นหนึ่งแล้วย่อมทำให้มุมตรง ข้ามมีค่าเท่ากัน กำหนดให้ DOC ตัดกับ AOB ที่ O ต้องการพิสูจน์ มุมDOB = มุมAOC หรือ มุมDOC = มุมBOC พิสูจน์ 1) มุมDOC + มุมBOC มีค่าสองมุมฉาก(นิยามของมุมตรง) 2) มุมAOC + มุมBOC มีค่าสองมุมฉาก (นิยามของมุมตรง) 3) มุมDOB = มุมAOC (ต่างเป็นมุมประกอบสองมุมฉากของ BOC) 4) ในทำนองเดียวกันย่อมพิสูจน์ได้ว่า มุมDOA = มุมBOC ซ.ต.พ. 2. ทฤษฎีบทที่ 1 เส้นตรงสองเส้นซึ่งอยู่บนระนาบ (Plane) เดียวกัน จะขนานกันก็ต่อเมื่อเส้นตรงสองเส้นนี้ต้องไม่ตัดกัน ข้อความจากทฤษฎีบทถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดกับเส้นตรงอีกเส้นหนึ่งและถ้าทำให้เกิดดังต่อไปนี้คือ 1. มุมแย้งเท่ากัน 2. มุมภายนอกมุมหนึ่งมีค่าเท่ากับมุมภายในมุมหนึ่งซึ่งอยู่ตรงข้ามข้างเดียวกันของเส้นตัด 3. มุมภายในคู่หนึ่งซึ่งอยู่ข้างเดียวกันของเส้นตัด มุมคู่นี้รวมกันเท่ากับสองมุมฉากแล้ว เส้นตรงสองเส้นนั้นจะขนานกัน 3. ทฤษฎีบทที่ 2 มุมภายในทั้งสามของรูป D รูปหนึ่งรวมกันย่อมมีค่าเท่ากับสอง มุมฉาก 4. นิยาม 2 รูปสองรูปใด ๆ ที่จะเรียกว่าเท่ากันทุกประการได้ก็ต่อเมื่อรูปสองรูป นั้นต้องทับกันสนิทพอดี 5. นิยามที่ 3 รูปสามเหลี่ยมใด ๆ ตั้งแต่สองรูปขึ้นไปจะเรียกว่าเท่ากันทุกประการ ได้ก็ต่อเมื่อ รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นทับกันได้สนิท 6. ทฤษฎีบทที่ 3 (ดมด.)ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีด้านเท่ากันสองคู่ และมีมุมในระหว่างด้านคู่ที่เท่ากันอีกด้วยแล้ว รูป สามเหลี่ยมสองรูปนี้ย่อมเท่ากันทุกประการ 7. ทฤษฎีบทที่ 4 (มดม.) ถ้ารูปสามเหลี่ยมสองรูปมีมุมเท่ากันสองมุม มุมต่อมุม และด้านที่สมนัยกันแล้ว สามเหลี่ยมสองรูปนี้ย่อมเท่ากันทุก 8. ทฤษฎีบทที่ 5 (ดฉด.)ในสามเหลี่ยมมุมฉาก 2 รูป ถ้ามีด้านตรงข้ามมุมฉากยาวเท่ากัน และมีด้านอื่นอีกด้านหนึ่งยาวเท่ากันแล้ว สามเหลี่ยมมุมฉาก 2 รูปนี้ย่อมเท่ากันทุกประการ 9. ทฤษฎีบทที่ 6 มุมภายในของรูปสี่เหลี่ยม ใด ๆ รวมกันได้ 4 มุมฉาก 10. ทฤษฎีบทที่ 7 รูปสี่เหลี่ยมใด ๆ เป็นรูป สี่เหลี่ยมด้านขนานก็ต่อเมื่อ มุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมนั้นมีขนาดเท่ากัน